Die meisten Quitten hierzulande sind auf einer schwachen Unterlage gepfropft. Das heißt, sie sind eher kleinwüchsig und werden unter 4 m bleiben. Quitten verwendet man ja auch eher nicht in Massen, sondern fügt sie dem Most bei, macht Quittengelee oder fügt sie Fruchtsäften bei. Man braucht also nicht sehr viele Früchte. In der Folge genügen kleinere Bäume.
Wie alt ist den das jetzige Bäumchen? Ich schätze schon einige Jahre. Ohne es genau erkennen zu können, würde ich erst mal Auslichten. Denn er sieht nicht gerade gut geschnitten aus.
Schnitt immer im Frühjahr vor dem Austrieb der Blüten nach dem Frost. Also März. Dann wie alle anderen Obstbäume. Alles was nach Innen wächst rausschneiden. Alle sich kreuzenden Äste so auslichten, dass der schönere nach Außen gerichtete Ast bleibt. Auf etwa vier bis sechs Äste rundum reduzieren, Nebenäste so weit einkürzen, dass der Hauptast etwas länger ist. Zur Spitze hin einen Ast nach oben stehen lassen, seine Nebenäste etwas einkürzen, alle anderen senkrechten Äste in der Mitte weg. Und nun solltest Du einen schönen symmetrischen Baum haben.
Im ersten Jahr hast Du vielleicht wenig Blüten und Frucht. Im laufenden Jahr bekommst Du höchstwahrscheinlich viele senkrechte "Wassertriebe" - diese kannst Du jederzeit wegschneiden oder erst im Frühjahr. Aber dann sollte der Baum voller Quitten hängen.
Im Netz findest Du einige gute Seiten zu Obstbaumschnitt. Kannst Dich an Apfel orientieren, meines wissens gibt es hier keine wesentlichen Unterschiede.